Bueno, al final me despejé un poco así que he estado escribiendo. Espero que quede más o menos claro. Lo principal está marcado como
CITA y luego
REFLEXIÓN:
Iniciado por Luis Castaño
Que, midiendo una estructura, Petrie (o nosotros) encontremos un ángulo de un segundo de arco quizá no signifique necesariamente que ellos pudieran medir con esa precisión. Quizá trazasen la estructura de tal modo que aparezca ese segundo de arco sin emplear realmente goniometría (medida de ángulos).
En este sentido es llamativa esta noticia que salió hace poco sobre la tablilla sumeria Plimpton 322:
Los babilonios se adelantaron en más de mil años a los griegos en la invención de la trigonometría - Arqueologia, Historia Antigua y Medieval - Terrae Antiqvae
Y en relación a este tema de esa noticia me permito destacar en negrita las siguientes palabras:
“Los babilonios conocían los triples pitagóricos mucho antes de que naciera Pitágoras, como se puede ver en esta y otras tablillas”, señala Mansfield a Sinc, y destaca: “Además nos enseñan cómo hacer trigonometría sin usar los ángulos, una trigonometría mucho más simple que no requiere conceptos avanzados como ángulos o números irracionales”.
En definitiva que, como comentaba hace poco con un buen amigo mío que preparaba su tesis sobre Matemáticas y Arqueología (digo preparaba porque ya la presentó, y con éxito), quizá deberíamos hablar más bien de “tri-lados” y no de “tri-ángulos” porque lo que la tablilla recoge son relaciones entre lados.
CITA 1:
La verdad desconozco de qué forma pudieron los egipcios no sólo medir ángulos con errores de pocos segundos de arco, sino además cortar piedras con la misma precisión sin tener un instrumento que midiera esos errores, o alinear las dos pirámides de Keops y Kefren de forma exacta.
REFLEXIÓN 1:
Es que en mi opinión está usted yendo demasiado rápido y las prisas suelen ser malas consejeras. Y digo esto porque, tal como yo lo veo, en estas afirmaciones suyas hay 2 cuestiones distintas:
1/ ¿Pudieron los egipcios medir ángulos con errores de pocos segundos de arco?
2/ ¿Cómo lo hicieron?
Usted está ya dando por sentado que la respuesta a a primera pregunta es SÍ. Yo por mi parte considero que eso no está tan claro ni mucho menos y que lo primero es estar seguro de ello. Que nosotros podamos medir una estructura encontrando esa precisión no implica que ellos lo hicieran.
Un ejemplo sencillo: Si le damos a un niño de ¿digamos 3 años? un compás y le pedimos que trace una circunferencia con él seguramente podrá hacerlo. Pregúntele usted acto seguido por el número Pi y su valor (3.141592...) y mire a ver si sabe responderle. Y sin embargo su trazado con compás incluye a Pi, obviamente. Pero el niño no es en absoluto consciente de ello. Lo somos nosotros.
Iniciado por Luis Castaño
CITA 2.3/ RESULTADOS DE LA MEDICIÓN:
Cito: “Los resultados seguirán siendo los mismos independientemente del sistema de medidas que se use, digo yo que un error de 0,04 mm/metro sigue siendo muy pequeño se mida como se mida.”
Sí y no. Y de nuevo intentaré explicarme con claridad. La distancia física medida en el mundo real será la misma, obviamente. Y podrá ser expresada en distintos sistemas de medidas y sus unidades. Y será convertible de unos a otros.
El problema se produce a menudo en las conversiones. Es decir, en lugar de medir el edificio real en medidas egipcias doy por bueno que tomando las mediciones de Petrie en Pulgadas convertidas a cm (el valor de 52'36 cm habitual y erróneamente llamado Codo Real) tendré los valores correctos.
Bien, esto no es necesariamente así porque en muchas ocasiones la propia conversión de unos sistemas a otros produce errores. En el caso de las mediciones de Petrie ¿cuánto medía la Pulgada inglesa de su época (o mejor, de sus instrumentos)? Porque el valor de la Pulgada inglesa ha variado a lo largo de la Historia y actualmente se aplica 2'54 cm pero no siempre tuvo ese valor.
A eso hay que añadirle que Petrie midió un edificio no perfecto ni recién terminado sino ya erosionado. En mi opinión, el único momento del proceso constructivo donde tenemos “edificios perfectos” (con medidas exactas en el sistema de medidas original) es en los planos originales. El propio edificio ya construido tendrá variaciones y, tras muchos años o siglos, el edificio erosionado tendrá aún más.
CITA 2:
No es que la pirámide sea un edificio perfecto es evidente,
REFLEXIÓN 2:
Bien. Pues eso es justo lo que llevo exponiendo desde el principio: Que la pirámide no es un edificio perfecto.
Por eso mismo no tiene sentido hablar de una perfección de 0'04 mm/metro. Porque, según amigos míos arquitectos, en Arquitectura, en el mundo real, esa precisión no se alcanza habitualmente ni aún hoy. Puede que en plano un salón rectangular mida 3 x 4 metros. Muy bien. Pero si medimos en el mundo real es muy probable que no mida 3'000 x 4'000 metros.
CITA 3:
pero por ejemplo las diferentes medidas de la longitud de los lados que se le han hecho en época moderna presentan diferencias mínimas porque la pirámide conserva un zócalo alrededor que se ha utilizado como punto de referencia y que no ha sido afectado por la erosión.
REFLEXIÓN 3:
Bien. Luego efectivamente está usted de acuerdo conmigo en que las diferentes mediciones que se han hecho presentan diferencias. Luego si tenemos distintas mediciones que nos dan resultados distintos entonces, efectivamente, creo que es razonable plantear que a día de hoy no tenemos medidas fiables, ¿no?
Porque ..... ¿cuál de esas mediciones es la buena?
Otro punto importante a señalar es precisamente el que usted destaca: el punto de referencia. ¿Qué punto de referencia se ha tomado para las distintas mediciones? ¿Ha sido siempre el mismo o distinto? ¿Cómo sabemos que ese punto de referencia es fiable? ¿Estamos seguros de ello?
Precisamente por todo esto he subido el enlace al PDF del trabajo de Glen Dash (que es, que yo sepa, la última medición de la Gran Pirámide hasta la fecha). En las imágenes podemos observar distintos puntos de referencia, distintos “corners” según los distintos autores (Petrie corner, Cole corner, GDFS 2015 casing corner..), unos “márgenes de confianza”, etc.
En definitiva, que no creo que afirmar que a día de hoy no tenemos unas “medidas fiables” sea ningún disparate. Para ser más preciso lo que propongo es que conviene revisar cuidadosamente los datos que tenemos. En Ciencia, al menos siendo estrictos, todo es revisable y no conviene poner el trabajo de nadie en un pedestal.
Como decía en la entrevista de radio cuyo enlace adjunté yo no estoy diciendo que todo lo que se ha hecho hasta ahora esté mal, ¡ojo! Lo que estoy diciendo es que conviene revisarlo todo a la luz de un dato nuevo y fundamental en Metrología: el Canon.
A esto conviene añadir algo que ya he expuesto en comentarios anteriores. Esas mediciones se han hecho en Pulgadas inglesas y/o Sistema Métrico Decimal. Basta con ver la forma en que el artículo de Glen Dash recoge los valores de las mediciones. Bien, pues por puro sentido común para medir correctamente un edificio egipcio lo que ha de emplearse son medidas egipcias.
En este sentido quizá convenga recordar el trabajo de Rolf Krauss sobre el rostro de Nefertiti, tan loado por José Miguel Parra en su libro “Eso no estaba en mi libro de Historia del Antiguo Egipto":
Nefertiti, el engaño más hermoso creado por Egipto - Historia
Tal como recoge ese enlace, la genialidad (¿¿¿???) de Krauss consistió en estudiar un busto egipcio aplicando una cuadrícula en Dedos egipcios:
“Sobre ese contorno trazó una cuadrícula utilizando una de las unidades métricas egipcias: el dedo, equivalente a 1.875 cm. El resultado fue tan espectacular como sorprendente: todos y cada uno de los rasgos que definían el hipnótico rostro regio se encontraban situados sobre una línea o en la intersección de dos líneas de la cuadrícula.”
Inciso:
Siguiendo el modelo ideal descrito en los textos, el Dedo no equivale a 1'875 cm. El Dedo equivale a 1'800 cm. Lo que ocurre es que para separar Dedo y Dedo en los patrones se hacía una Marca entre ellos. Los textos recogen esa Marca con el nombre de Pelo de camello y nos dicen expresamente que 1 Dedo = 4 Granos de cebada y 1 Grano de cebada = 6 Pelos de camello. Así pues en el modelo ideal lo que tenemos es:
Dedo = 1'800 cm, Grano = 4'5 mm, Pelo = 0'75 mm y Dedo + Marca = 1'875 cm.
Fin del inciso.
Bien, pues eso mismo que hizo Krauss a la hora de estudiar el busto de Nefertiti (aplicar medidas egipcias al estudio de una escultura egipcia, algo que a mí personalmente me parece que se cae de su peso) es lo que en mi opinión debe hacerse con respecto a la Arquitectura del Antiguo Egipto. Y a tenor de esos trabajos que recoge Glen Dash en su artículo (con medidas en Pulgadas inglesas y/o Sistema Métrico Decimal) es algo que todavía no se ha hecho.
CITA 4:
Lado N-S de la base.
- Petrie (1883): 230,36 m.
- J. H. Cole (1925): 230,35 m.
- Lehner (2003): 230, 33
Lado E-O
- Petrie: 230,34 metros.
- Cole: 230,37
- Lehner: 230,33
REFLEXIÓN 4:
Bien. En primer lugar creo que precisamente esos valores (todos muy cercanos pero ligeramente diferentes) demuestran que no es fácil saber cuáles son las medidas correctas. Y esto no es por hacer de menos el trabajo de nadie, ¡ojo!. Es que medir con precisión puede ser algo tremendamente difícil y más en un edificio que está en el estado que presenta la Gran Pirámide.
Por otro lado entiendo que Petrie, Cole y Lehner no dieron sus resultados en metros, ¿verdad? Si midieron en Pulgadas inglesas (caso de Petrie) los darían en Pulgadas inglesas. Así que esos valores en metros son resultado de una conversión. Hablemos pues de conversiones (y redondeos).
Se suele decir que la Gran Pirámide mide 440 Codos Reales x 280 Codos Reales, entendiendo como Codo Real un valor de 52'36 cm (la conversión a cm del valor propuesto por Petrie en Pulgadas inglesas: por cierto Petrie siempre marca un +/-, claro) → 440 x 52'36 cm = 230'384 m.
Todo esto está muy bien. Pero al dejar de lado el estudio de los textos, de las medidas antiguas, de los patrones, del Canon, etc, pues resulta que para resolver un puzzle complicado nos estamos dejando de lado una gran ayuda. Y eso es justo lo que yo pretendo hacer ver con mi trabajo.
Si hacemos caso a Herodoto (Base GP = 8 Pletros) y a Herón (Pletro = 100 Pies Reales; Pie Real = 16 Dedos) tenemos que la Base de la Gran Pirámide mide:
12800 Dedos x 1'800 cm = 230'40 m.
Así que los textos antiguos que nos dan las medidas ideales de la Gran Pirámide no nos dan 230'384 m sino 230'40 m. ¿Hay mucha variación? Veamos.
Partamos de esos 8 Pletros (230'40 m) y demos por buenos esos 440 Codos Reales (52'36 cm) de Petrie. Y hagamos el cálculo al revés: 230'40 metros / 440 = 52'3636364 cm.
En definitiva, que los valores dados por los antiguos y los medidos por Petrie son muy cercanos. Pero digo yo que será mejor hacer caso a las fuentes históricas, ¿no?
Porque además tenemos otra cuestión. Y es que resulta que tenemos textos que nos dicen que la medida Codo Real (no los patrones de 7 Palmas, ¡ojo!, sino la medida Codo Real) corresponde a 8 Palmas o 32 Dedos.
De modo que el Codo Real (32 Dedos) mide 32 Dedos x 1'800 cm = 57'6 cm. Y por tanto la base de la Gran Pirámide mide 400 Codos Reales (de 57'6 cm), un número mucho más redondo que 440 Codos Reales (de 52'36 cm). Y esto es así porque el valor atribuido hasta ahora al Codo Real (esos 52'36 cm) es erróneo.
Esta confusión entre los patrones de 7 Palmas y el auténtico valor de la medida Codo Real es uno de los muchos problemas y confusiones derivados de no haberse jamás estudiado la Historia de las Medidas con ayuda del Canon.
CITA 5:
Observese que el error mayor es el de las medidas mas antiguas de Petrie y Cole, 2 cm en 230 metros, y que en las medidas mas modernas es inferior a 1 centímetro.
REFLEXIÓN 5:
Volveré a hacer referencia al trabajo de Glen Dash, ya que para eso lo subí. En él se ven los distintos puntos de referencia que cada autor toma. Y en su estudio Dash llega a la conclusión de que en la Gran Pirámide hay un error de medición de 14 cm.
En definitiva (y por no extenderme) que no soy yo (desde mi casa) el único que dice que los resultados que tenemos no son fiables. El autor del último estudio “a pie de obra” también nos está diciendo lo mismo, ¿no?
Con el agravante de que se le ofrece entregarle una explicación clara y sencilla del sistema de medidas empleado por los egipcios para construir el edificio y no muestra el mayor interés.
Que digo yo que siempre será mejor medir el edificio aplicando las medidas empleadas por los egipcios en su construcción que medir en Pulgadas inglesas o metros (como bien demuestra el trabajo de Krauss sobre el busto de Nefertiti). Pero en fin, está visto que hay cosas obvias que es difícil hacer ver.
CITA 6:
Petrie en su trabajo explica como estimó con bastante exactitud la forma de la pirámide para proceder a su medida teniendo en cuenta que ha perdido todo el revestimiento y algunas piedras del exterior, cito:
The form of the present rough core masonry of the Pyramid is capable of being very closely estimated. By looking across a face of the Pyramid, either up an edge, across the middle of the face, or even along near the base, the miccionan optical plane which would touch the most prominent points of all the stones, may be found with an average variation at different times of only 1,0 inch. I therefore carefully fixed, by nine observations at each comer of each face, where the miccionan plane of each face would fall on the socket floors ; using astraight rod as a guide to the eye in estimating. On reducing these obser- vations to give the miccionan form of the core planes at the pavement level, it came out thus
REFLEXIÓN 6:
Parece que cuesta trabajo admitir que cualquier gran investigador no deja de ser un ser humano y, por tanto, pueda cometer errores. Y (lo reitero una vez más) con esto no estoy diciendo que Petrie midiera mal. Lo que estoy diciendo es que hay que revisar su trabajo para asegurarnos de si es fiable o no. Porque para empezar midió un edificio construido con medidas egipcias en medidas inglesas y eso es, al menos metodológicamente, discutible. O al menos a mí me lo parece.
Sorprende tb que se insista tanto en las maravillosas mediciones de Petrie y se olviden los magníficos trabajos metrológicos llevados a cabo por los científicos que fueron a Egipto con Napoleón, en 1800 aproximadamente:
Descripción de Egipto. Primera edición. Antigüedades, descripciones, volumen I - Biblioteca Digital Mundial
Digo esto porque las mediciones de Petrie (al haber sido hechas en Pulgadas inglesas) requieren de una previa conversión a nuestro Sistema Métrico Decimal. Sin embargo, los trabajos realizados por los franceses fueron hechos directamente en Sistema Métrico.
Y tb, dicho sea de paso, por señalar que Pierre Simon Girard nos dejó la equivalencia exacta del Canon al Sistema Métrico (“Si disminuimos el Patrón de 7 Palmas de una Palma el Codo medirá 450 mm y la altura del Hombre correspondiente será de 1 metro 80 centímetros”) en la página 14 de su Memoria del Nilómetro mucho antes de que Petrie midiese en Pulgadas inglesas en 1883.
Iniciado por Luis Castaño
Y por último vuelvo a ese planteamiento de “un error de 0,04 mm/metro” con dos objeciones:
2.3.1/ Mientras no tengamos unas medidas fiables de la Gran Pirámide (y por sorprendente que parezca aún no las tenemos) hablar de una precisión de 0'04 mm / metro es algo muy dudoso. Sobre todo teniendo en cuenta que uno de los últimos estudios revela un error de medición de hasta 14 cm. Dejo enlace y PDF:
Un estudio revela un error de medición en la construcción de la Gran Pirámide de Guiza - Arqueologia, Historia Antigua y Medieval - Terrae Antiqvae
http://dashfoundation.com/downloads/...16_2_GDash.pdf
CITA 7:
Si cuando dice que no tenemos "medidas fiables" de la pirámide quiere decir que ninguna de las medidas tomadas por Petrie o en el siglo XX tiene validez pues no sé, me deja un poco a cuadros, porque Petrie hizo muchas medidas, por ejemplo midió las piedras del revestimiento que quedan y cuya forma original se conserva bastante bien (no les ha afectado la erosión) y por tanto se pudieron medir y según Petrie estos fueron los resultados, cito otra vez ....
REFLEXIÓN 7:
Vuelvo a explicarme para que quede claro. NO estoy diciendo que las medidas tomadas por Petrie o en el Siglo XX no sean válidas. Estoy diciendo que convendría asegurarse de si lo son o no porque en ningún caso (al menos que yo sepa) se ha medido el edificio con medidas egipcias. Creo que es una objeción de sentido común y basada en un principio de Metrología Histórica, a saber:
Para estudiar correctamente las dimensiones de un edificio de determinada época histórica y zona geográfica lo razonable es hacerlo aplicando el sistema de medidas empleado en esa época histórica y zona geográfica. Porque probablemente sea la mejor forma de encontrar las regularidades propias del edificio en cuestión.
¿Le parece a usted un planteamiento descabellado o por el contrario le parece de sentido común?
.Several measures were taken of the thickness of the joints of the casing stones. The eastern joint of the northern casing stones is on the top ´020, 002, ´045 wide ; and on the face "012, '022, ´013, and '040 wide. The next joint is on the face ´011 i and "014 wide. Hence the miccionan thickness of the joints there is "020 ; and, therefore, the miccionan variation of the cutting of the stone from a straight line and from a true square, is but ´01 on length of 75 inches up the face, an amount of accuracy equal to most modem opticians straight-edges of such a length.These joints, with an area of some 35 square feet each, were not only worked as finely as this, but cemented throughout. Though the stones were brought as close as 1/500 inch, or, in fact, into contact, and the miccionan opening of the joint was but 1/80 inch, yet the builders managed to fill the joint with cement, despite the great area of it, and the weight of the stone to be moved—some 16 tons. To merely place such stones in exact contact at the sides would be carefulwork; but to do so with cement in the joint seems almost impossible
CITA 8
Yo la verdad no sé si hay algun estudio reciente que diga que Petrie tambien cometió errores al medir una piedra de 3 metros de largo, yo no lo pongo en duda ni creo que se pueda.
REFLEXIÓN 8
Yo tampoco sé si hay algún estudio que diga que Petrie midió alguna piedra de 3 metros en Pulgadas inglesas. Pero ya que le resulta tan difícil considerar que alguien (Petrie o cualquier otro) pueda cometer un error al medir hagamos un ejercicio hipotético para que vea que es muy, muy, muy fácil caer en errores a la hora de medir, convertir o expresar una medida.
Pogamos que tenemos una piedra con una longitud de 3 metros exactos y la medimos en Pulgadas inglesas (de hoy día, porque la Pulgada inglesa no siempre ha medido lo mismo: Pulgada inglesa = 2'54 cm). Bien, dicha medición nos daría:
300'00 cm / 2'54 cm = 118'110236 Pulgadas inglesas.
Esa sería la medición exacta (bueno, mejor: el valor exacto aplicando calculadora; ya sabemos que en el mundo real siempre hay oscilaciones, ¿no?).
Y ahora planteo yo: ¿No es muy probable que ese valor exacto de 118'110236 Pulgadas acabe en algún momento expresándose, para redondear, como 118'11 Pulgadas? Es algo que hacemos todos, prácticamente todos los días.
¿Habría gran diferencia? Pues no. Tendríamos: 299'9994 cm. Y sin embargo ya no sería la medida exacta.
Otro ejemplo, con idea de demostrar que en esto de las medidas a menudo se cometen errores sin ser consciente en absoluto de ello (y no porque nadie sea especialmente orate sino porque es difícil y los humanos no somos perfectos): ¿Cuánto mide la regla de la imagen?
(Aquí quería poner una imagen que tengo guardada en mi ordenador pero no sé cómo hacerlo).
REFLEXIÓN FINAL:
Y ya que estoy añadiré una reflexión final sobre la “exactísima precisión” de las medidas antiguas basándome en la Mesa de Medidas de Leptis Magna. Dicha Mesa de Medidas recoge 3 patrones de medidas diferentes. Dejemos de lado el superior y el inferior y fijémonos en el patrón central:
(Mismo problema: Quería subir una imagen de la Mesa de Medidas de Leptis Magna y del análisis de la misma realizado por Mark Wilson Jones y no sé cómo hacerlo).
Se trara de un patrón que recoge una medida de 4 Palmas, la derecha dividida en 4 Dedos y la izquierda en 3 Pulgadas. Y como vemos en el análisis de Wilson Jones apenas nada coincide.
El valor ideal de Dedo es 1'8 cm y el de Pulgada, siguiendo los textos, 1 Dedo + 1/3 = 2'4 cm. Pero claro, luego está el mundo real. Y así, en la Palma derecha, vemos 2 Dedos de 1'8 cm y 2 de 2 cm.
En cuanto a otras medidas en ese patrón pues idealmente 4 Dedos miden 4 x 1'8 cm = 7'2 cm y la Palma (4 x 1'875) mide 7'5 cm. Pero de nuevo los valores en el mundo real oscilan mucho.
Si consideramos la Palma izquierda como 7'85 cm al dividirla en 3 Pulgadas nos daría un valor de Pulgada de 2'61 cm. Si la consideramos como 7'65 cm nos daría 2'55 cm. Este segundo valor podría hacer creer que estamos ante la Pulgada inglesa de 2'54 cm cuando tenemos textos que explican cómo dicha medida surge en la Edad Media.
Y ninguno de esos valores (2'61 cm, 2'55 cm) corresponde exactamente con el valor de la Pulgada (1 Dedo + 1/3 de Dedo = 2'4 cm). Así que lo de la exactísima precisión hay que tomarlo con pinzas.
EN DEFINITIVA, y como vengo diciendo desde mi primer comentario, que creo que antes de lanzarse a hablar de exactísima precisión y consideraciones similares conviene hacer un estudio profundo y una revisión completa de todo lo que se ha escrito hasta ahora en Metrología Histórica.
PD: Intentaré subir esas imágenes cuando se me ocurra (o sepa) cómo hacerlo. Por hoy ya no doy más. Un saludo.
; cualquiera con un mínimo de sentido común que lea el artículo de éste hilo y lo compare con el otro se dará cuenta.
