Dejo un ejercicio de topología resuelto. Si alguno quiere calibrar cómo va la IA, es un buen punto de partida.
Ver archivo adjunto 2052504
Para resolver el problema, demostraremos que en un espacio topológico \((X, T)\), un punto \(x \in X\) es un punto de aglomeración de una red \(s\) si y sólo si existe una **subred** de \(s\) que converge a \(x\).
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### **Definiciones Previas**
1. **Red:**
Una red en \(X\) es una función \(s: D \to X\), donde \(D\) es un conjunto dirigido.
2. **Punto de aglomeración de una red:**
Un punto \(x \in X\) es un punto de aglomeración de la red \(s\) si, para todo entorno \(U\) de \(x\) y para todo \(\alpha \in D\), existe \(\beta \geq \alpha\) tal que \(s(\beta) \in U\).
3. **Convergencia de una red:**
La red \(s\) converge a \(x\) si, para todo entorno \(U\) de \(x\), existe \(\alpha \in D\) tal que, para todo \(\beta \geq \alpha\), \(s(\beta) \in U\).
4. **Subred:**
Una red \(s': D' \to X\) es una subred de \(s\) si existe una función cofinal y creciente \(\phi: D' \to D\) tal que \(s' = s \circ \phi\).
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### **Demostración**
#### **(⇒) Si \(x\) es punto de aglomeración de \(s\), entonces existe una subred de \(s\) que converge a \(x\).**
**Construcción de la subred:**
1. **Definición del conjunto dirigido \(D'\):**
Sea \(N(x)\) el conjunto de entornos de \(x\). Definimos:
\[
D' = \{ (U, \alpha) \mid U \in N(x), \ \alpha \in D \}
\]
con el orden:
\[
(U, \alpha) \leq (V, \beta) \quad \text{si y sólo si} \quad U \supseteq V \ \text{y} \ \alpha \leq \beta
\]
Este orden convierte a \(D'\) en un conjunto dirigido.
2. **Definición de la función \(\phi: D' \to D\):**
Para cada \((U, \alpha) \in D'\), como \(x\) es punto de aglomeración de \(s\), existe \(\beta \geq \alpha\) tal que \(s(\beta) \in U\). Definimos:
\[
\phi(U, \alpha) = \beta
\]
La función \(\phi\) es cofinal y creciente por construcción.
3. **Definición de la subred \(s'\):**
\[
s': D' \to X, \quad s'(U, \alpha) = s(\phi(U, \alpha))
\]
**Verificación de que \(s'\) converge a \(x\):**
- Sea \(W\) un entorno arbitrario de \(x\). Queremos encontrar \((U_0, \alpha_0) \in D'\) tal que, para todo \((U, \alpha) \geq (U_0, \alpha_0)\), se tenga \(s'(U, \alpha) \in W\).
- Tomamos \(U_0 = W\) y \(\alpha_0\) arbitrario en \(D\). Entonces, para todo \((U, \alpha) \geq (W, \alpha_0)\), tenemos que \(U \subseteq W\) y \(\alpha \geq \alpha_0\).
- Por construcción, \(s'(U, \alpha) = s(\phi(U, \alpha)) \in U \subseteq W\).
- Por lo tanto, \(s'\) converge a \(x\).
#### **(⇐) Si existe una subred de \(s\) que converge a \(x\), entonces \(x\) es punto de aglomeración de \(s\).**
**Suposición:**
- Existe una subred \(s': D' \to X\) de \(s\) que converge a \(x\), con función cofinal y creciente \(\phi: D' \to D\) tal que \(s' = s \circ \phi\).
**Demostración:**
- Sea \(U\) un entorno arbitrario de \(x\).
- Como \(s'\) converge a \(x\), existe \(\alpha' \in D'\) tal que, para todo \(\beta' \geq \alpha'\), \(s'(\beta') \in U\).
- Dado que \(\phi\) es cofinal, para cualquier \(\gamma \in D\), existe \(\beta' \in D'\) tal que \(\phi(\beta') \geq \gamma\).
- Entonces, \(s(\phi(\beta')) = s'(\beta') \in U\), y \(\phi(\beta') \geq \gamma\).
- Por lo tanto, para todo \(\gamma \in D\), existe \(\delta \geq \gamma\) (tomando \(\delta = \phi(\beta')\)) tal que \(s(\delta) \in U\).
- Esto demuestra que \(x\) es punto de aglomeración de \(s\).
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### **Conclusión**
Hemos demostrado que \(x\) es punto de aglomeración de \(s\) si y sólo si existe una subred de \(s\) que converge a \(x\).
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