El DNI es gratuito cuando cambias de domicilio y no tienes el DNI caducado.
A no lo hagáis antes de los 3 meses antes de que vaya a caducar porqué entonces solo lo renuevan por el tiempo hasta que os toque renovar. Es decir váis 4 meses antes que caduque, os lo renuevan por 4 meses.
Lo lógico es esperar por debajo de los 3 meses así os lo renuevan por 10 años ( a mí me pasó y el que hacía el dni me aconsejó esperarme 1 mes y por tanto tuve que pedir cita otra vez) 
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Eso iba a decir, no sé porqué se ha interpretado que si se renueva dentro de los últimos 90 días de vigencia no hay exención de tasas... Lo que hay dentro de esos 90 últimos días es un nuevo DNI con caducidad normal,
mientras que si se cambian datos de filiación o domicilio cuando quedan más de 90 días de vigencia, se renueva "por lo que queda". 
ienso: :abajo: (Lo mismo pasa en caso de extravío o sustracción, salvo que un cambio de datos a la vez que una renovación en esos casos no supone exención de tasas)
Os traigo información de primera mano, ya que este post esta generando muchas dudas y afirmando cosas que no son ciertas.
Esta semana he renovado mi DNI, me caducaba en Noviembre (me quedaban mas de 4 meses).
Tenía que hacer el cambio de domicilio.
En mi caso no me ha hecho falta llevar certificado de empadronamiento,pues hacía mas de dos meses que estaba empadronado en el domicilio actual y la web de la comisaria se conectaba con la base de datos del ayuntamiento para corroborarlo.
En caso de dudas, lo mejor es llevar el certificado y te ahorras problemas.
TASAS: CERO EUROS
RENOVADO HASTA EL 2023
Ignoro que hubiera pasado si hago lo mismo 30 días antes de que me caducara,pero os cuento como ha sido en mi caso.
Solo he necesitado una foto actual y el DNI antiguo.
Por cierto, al DNI antiguo le han hecho un corte (como el de las libretas del banco) y me lo han devuelto.
Pregunté por curiosidad a la funcionaria que era eso de los cambios de filiación.En principio es habitual para la gente que ha ido al registro a cambiar el orden de los apellidos,o catalanizar-españolizar su nombre.
Casos menos comunes son el cambio de sesso, o el de padres(adoptados o cosas así).
Espero que con esto quede mas clarito el hilo.